思路与算法

记 $N=n!$。原式通分得到 $xy=N(x+y)$，移项为

$$(x-N)(y-N)=N^2.$$

因为 $x,y$ 都为正且原式成立，必有 $x>N,y>N$。于是对 $N^2$ 的每个正因数 $d$，令 $x=N+d,\ y=N+N^2/d$，恰得一组正整数解。题目计有序对，不能再除以2。

若 $N=\prod p^{e_p}$，则 $N^2$ 的约数个数为 $\prod(2e_p+1)$。无需构造巨大阶乘。用埃氏筛枚举 $p\le n$，通过

$$e_p=\lfloor n/p\rfloor+\lfloor n/p^2\rfloor+\cdots$$

计算它在 $n!$ 中的指数。程序从 $v=n$ 开始反复整除 $p$ 并累加，避免显式连乘 $p^k$。最后把各项乘积对 $10^9+7$ 取模。$n=1$ 时质因子表为空，空积为1，对应解 $(2,2)$。

正确性说明

通分和配方对正数等价。由 $1/x<1/N$ 可知 $x>N$，同理 $y>N$，所以两个移位量均为正。映射 $d=x-N$ 把原式的每个有序解对应到 $N^2$ 的一个正因数；反向构造也是正整数解，且互为逆映射，因此解数正是因数个数。

一个素数 $p$ 的倍数对阶乘提供一次 $p$，$p^2$ 的倍数再提供一次，依此类推，逐层计数恰得指数公式。唯一分解保证平方后每个素数指数为 $2e_p$，每个因数独立选取指数0至 $2e_p$，共有 $\prod(2e_p+1)$ 种。逐步取模保持乘积余数，所以输出为所求解数模数值。

复杂度

初始化筛数组为 $O(n)$，埃氏筛为 $O(n\log\log n)$（小规模可写 $O(n\log\log(n+2))$）。指数累加精确需 $O(\sum_{p\le n}(1+\lfloor\log_p n\rfloor))$，给出简单总上界 $O(n\log\log(n+2)+\pi(n)\log(n+1))$。筛数组占 $O(n)$，其余仅常数变量，总额外空间 $O(n)$。不生成 $n!$ 或所有解。

易错点

1. $(x,y)$ 有顺序，样例的 $(3,6)$ 与 $(6,3)$ 都计入。
2. 求的是阶乘平方的因数个数，所以使用 $2e_p+1$，不是 $e_p+1$。
3. 用反复整除求指数，不显式算巨大阶乘或不断乘素数幂。
4. 每次模乘前用64位；本范围指数不超过 $n$，因子与模内结果之积小于64位上界。
5. 覆盖 $n=1$、小质数、最大值及接近上界的质数。独立答案按2至n逐个分解累加，未把参考程序同一指数循环当独立验证。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<bool> bad(n + 1);
    ll result = 1;
    for (int p = 2; p <= n; p++)
        if (!bad[p]) {
            if (p <= n / p)
                for (int k = p * p; k <= n; k += p)
                    bad[k] = true;
            ll exponent = 0;
            for (int v = n; v;) {
                v /= p;
                exponent += v;
            }
            result = result * (2 * exponent + 1) % 1000000007;
        }
    cout << result << '\n';
}