思路与算法

整数判别式先判断无实根与有理根；无理根拆出最大平方因子，得到正根号系数与最简有理部分，按唯一格式输出较大根。

正确性说明

较大根统一写成-b/(2a)+sqrt(Δ)/(2|a|)。若Δ为平方，用同符号变换的整数分子和正分母约分；否则分离平方部分令剩余根号数无平方因子，再分别约分有理部分及正根号系数，恰得到题目规定的唯一表示。

复杂度

每式O(sqrt(Δ)+log M)试因子上界时间、O(log M)数字文本空间，T式串行；Δ<=5M²、M<=1000。

易错点

a为负时根号项分母仍用2|a|，不能直接拿公式加号根；有理部分为0要省略，系数1和分母1按规则省略，不输出空格。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long gcd1(long long a, long long b) {
    while (b) {
        long long t = a % b;
        a = b;
        b = t;
    }
    return a;
}
string frac(long long p, long long q) {
    if (q < 0) {
        p = -p;
        q = -q;
    }
    long long g = gcd1(llabs(p), q);
    p /= g;
    q /= g;
    return to_string(p) + (q == 1 ? "" : "/" + to_string(q));
}
int main() {
    int T, M;
    cin >> T >> M;
    while (T--) {
        long long a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        long long D = b * b - 4 * a * c;
        if (D < 0) {
            cout << "NO\n";
            continue;
        }
        long long root = sqrtl(D);
        while ((root + 1) * (root + 1) <= D)
            root++;
        while (root * root > D)
            root--;
        long long den = 2 * llabs(a), p = -b * (a > 0 ? 1 : -1);
        if (root * root == D) {
            cout << frac(p + root, den) << "\n";
            continue;
        }
        long long u = 1, v = D;
        for (long long z = 2; z * z <= v; z++)
            while (v % (z * z) == 0) {
                v /= z * z;
                u *= z;
            }
        string out;
        if (p)
            out = frac(p, den) + "+";
        long long g = gcd1(u, den);
        u /= g;
        long long q = den / g;
        if (u != 1)
            out += to_string(u) + "*";
        out += "sqrt(" + to_string(v) + ")";
        if (q != 1)
            out += "/" + to_string(q);
        cout << out << "\n";
    }
}