思路与算法

递归函数F(k)在k=0时返回x，否则先求F(k−1)，再返回sqrt(k+F(k−1))。逐层从内向外展开，使用long double并输出两位小数。

正确性说明

最内层基例是x。假设F(k−1)等于前k−1层嵌套根式，则在外面加k并开平方，正好构成第k层定义。由归纳最终返回f(x,n)。x非负，所有根号内量至少为1，均有合法非负实根。每层对内层扰动的放大率至多1/2，舍入误差不会随层数指数放大。

复杂度

初始化O(1)，递归n+1层，每层一次加法和平方根，时间O(n)，递归栈O(n)。

易错点

先计算内层再加当前k，不要把x重复加入每一层。f(x,0)=x不是0。源题列举两组示例不代表只能硬编码两组结果；本地修订域和误差已明确。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long double x;
long double f(int n) {
    if (n == 0)
        return x;
    return sqrtl(n + f(n - 1));
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> x >> n;
    cout << fixed << setprecision(2) << f(n) << '\n';
}