思路与算法

σ(n)对互质因子可乘。将n唯一分成递增素数幂，逐个枚举素数p及指数e，使几何和1+p+...+p^e整除剩余目标rem，再递归处理剩余素数。若rem-1是允许的更大素数，直接得到一个一次素因子结尾。预筛50000以内素数支持2e9范围试除，最后排序去重并输出全部号码。

正确性说明

唯一素因数分解使任何解对应唯一递增素数幂序列，其各几何和相乘正好为S。递归只接纳整除目标的几何和，因此生成的一定是解。若未处理素数超过sqrt(rem)，指数只能1且只可能剩一个素因子，否则几何和乘积已超过rem；这由rem-1素数分支完整涵盖。

复杂度

筛表初始化O(BloglogB)、空间O(B)，B=50000。设实际搜索节点V、每点试探素数幂次数合计E，试除判素最坏O(π(B))，搜索O(E+Vπ(B))，结果排序O(AlogA)。深度受不同素因子数限制，结果与递归额外空间O(A+V的最大深度)。

易错点

S=1对应n=1，σ(1)=1。无解也输出计数0及空第二行；多个输入直到EOF，输出排序且不能重复。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> pr;
bool prime(long long x) {
    if (x < 2)
        return false;
    for (int p : pr) {
        if (1LL * p * p > x)
            break;
        if (x % p == 0)
            return false;
    }
    return true;
}
vector<long long> ans;
void dfs(long long rem, int at, long long value) {
    if (rem == 1) {
        ans.push_back(value);
        return;
    }
    if (rem - 1 >= (at < (int)pr.size() ? pr[at] : 50000) && prime(rem - 1))
        ans.push_back(value * (rem - 1));
    for (int i = at; i < (int)pr.size() && 1LL * pr[i] * pr[i] <= rem; i++) {
        long long p = pr[i], pw = p, sum = 1 + p;
        while (sum <= rem) {
            if (rem % sum == 0)
                dfs(rem / sum, i + 1, value * pw);
            pw *= p;
            sum += pw;
        }
    }
}
int main() {
    vector<bool> is(50001, true);
    for (int i = 2; i <= 50000; i++)
        if (is[i]) {
            pr.push_back(i);
            for (int j = i + i; j <= 50000; j += i)
                is[j] = false;
        }
    long long s;
    while (cin >> s) {
        ans.clear();
        dfs(s, 0, 1);
        sort(ans.begin(), ans.end());
        ans.erase(unique(ans.begin(), ans.end()), ans.end());
        cout << ans.size() << '\n';
        for (size_t i = 0; i < ans.size(); i++)
            cout << ans[i] << (i + 1 == ans.size() ? '\n' : ' ');
        if (ans.empty())
            cout << '\n';
    }
}