思路与算法

设D=Σ(i=1..n)digits(i)。按展开系数的子集分别统计a字符、下标数字、系数内部加号、括号、外部加号及x的指数。二项式恒等式ΣkC(n,k)=n2^(n-1)、每个下标出现2^(n-1)次，将总长度化简为(n+D)2^(n-1)+2^n+3n+D-4。D按1位、2位等连续区间计数，幂用模10000快速幂。

正确性说明

选k个a的每个子集恰是一项系数单项式；每个a_i在全体子集中出现一半。中间系数有括号，常数系数只有一个乘积不加括号；x的一次项不写指数，零次项不写x。逐类统计与样例所用格式一致，化简公式因此精确。

复杂度

D分位数区间求和O(log10n)，两次幂O(logn)，时间O(logn)，额外空间O(1)。所有初始化常数；n≤1e9，64位中间值足够。

易错点

长度不计展示用的乘号或上标排版命令，只计题面所列字符及指数、下标数字。n=1时公式也得到x+a1长度4。模10000不是质数，直接二进制幂无需费马降幂。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long pw(long long a, long long n) {
    long long r = 1;
    while (n) {
        if (n & 1)
            r = r * a % 10000;
        a = a * a % 10000;
        n >>= 1;
    }
    return r;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    long long n;
    cin >> n;
    long long d = 0;
    for (long long p = 1, len = 1; p <= n; p *= 10, len++)
        d += (min(n, p * 10 - 1) - p + 1) * len;
    long long ans = ((n + d) % 10000 * pw(2, n - 1) + pw(2, n) + 3 * n + d - 4) % 10000;
    cout << ans << '\n';
}