思路与算法

在所有 $v\le n$ 的整数中，先最大化约数个数，再在并列时取最小 $v$。这个最小数的约数数严格超过它前面的每个数，故它是反素数；之后直到 $n$ 不可能再刷新纪录，因此它就是不超过 $n$ 的最大反素数。

若 $v=\prod p_i^{e_i}$，约数数为 $\prod(e_i+1)$。取得某个约数数的最小整数，使用的素数一定从2连续开始，否则替换成更小的缺失素数会减小整数而不改约数数。指数必须非增：小素数指数比大素数小，交换两指数会使整数更小，约数数仍相同。

据此按素数 $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ 深搜，状态记录素数位置、允许的最大指数、当前数值和约数个数。先用当前状态更新最优答案，再尝试当前素数的正指数，下一层指数上限设为本层指数。若再乘一次会超过 $n$，则终止本层后续尝试。前10个素数乘积 $6469693230>2\times10^9$，所以合法反素数至多9种不同素因子。首层指数至多30。

正确性说明

选择最大约数数并在并列时取最小整数的规则给出一个纪录数；若它之后还存在不超过 $n$ 的纪录数，后者约数数必须更大，与最大性矛盾。所以该规则与目标等价。

缺失素数替换及指数交换证明表明，某个全局最优解一定由连续素数、非增正指数组成，深搜不会因这些限制遗漏最优解。每层枚举所有不超过上一层的指数；对当前数值先更新答案，也覆盖使用更少素数的解，包括1。若当前数值乘素数已超过上界，更高指数及任何继续扩展都不可能合法，因此剪枝安全。所有合法标准形都被遍历，维护的并列最小规则最终选出所求反素数。

复杂度

设实际访问的合法前缀状态数为 $T$。每条递归边只生成一次，每层结束最多再做一次失败检查，总时间 $O(T)$；一个宽松界为 $O((1+\lfloor\log_2 n\rfloor)^9)$，非增指数限制使实际状态远少于此界。质数表固定，初始化为常数；递归至多9层，额外空间在本题范围为 $O(9)$。不分配长度为 $n$ 的数组。

易错点

1. 并列约数数时必须取较小数；较大的并列数没有严格刷新纪录。
2. 1本身是反素数，初始最优值和约数数均为1。
3. 非增指数限制依赖最小整数证明，不能跳过小素数后任意继续搜索。
4. 先用 value > n/p 判断再乘，避免溢出。递归参数传值，不让不同分支的数值和约数数互相污染。
5. 数据包含纪录刚好到达及前一个数、最小值和最大 $2\times10^9$。独立答案枚举全部164706个9素数平滑数，不使用非增指数剪枝，并用1至50000的全量约数筛核对。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
ll limit, best = 1;
int bestCount = 1;
void dfsAntiprime(int at, int maxExponent, ll value, int count) {
    if (count > bestCount || (count == bestCount && value < best)) {
        bestCount = count;
        best = value;
    }
    if (at == 9)
        return;
    ll next = value;
    for (int exponent = 1; exponent <= maxExponent; exponent++) {
        if (next > limit / primes[at])
            break;
        next *= primes[at];
        dfsAntiprime(at + 1, exponent, next, count * (exponent + 1));
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cin >> limit;
    dfsAntiprime(0, 30, 1, 1);
    cout << best << '\n';
}