思路与算法

设圆心角的一半为θ，弦长L=2Rsinθ，弧长L′=2Rθ，因此sinθ/θ=1/(1+d)，d=nC。短弧θ∈[0,π/2]，对loss(θ)=1−sinθ/θ二分，使其等于d/(1+d)。最终弓高h=(L/2)tan(θ/2)。很小角度直接相减会丢精度，此时用θ²/6−θ⁴/120+θ⁶/5040−…计算loss。L=0或d=0直接输出0。

正确性说明

圆弧与弦长关系导出上述方程。对0<θ≤π/2，sinθ−θcosθ的导数为θsinθ>0，故θ/sinθ严格递增，loss也严格递增。d≤0.5时所需弧弦比≤1.5<π/2，唯一解落在二分区间。每次按loss比较保留包含真解的一半；120步后二分误差足够小。h=R(1−cosθ)用半角式改写，避免小角相减。小角级数为交错递减项，20项截断远小于公开误差；long double计算与三位输出满足约定容差。

复杂度

初始化O(1)，120次二分，每次至多20项级数或一次正弦，均为固定次数，总时间O(1)，额外空间O(1)。若按目标二分精度δ计，为O(log(1/δ))次判定。

易错点

圆弧不是抛物线；所求为弓高，不是半径。L0和零膨胀单独处理。微小d下1−sinθ/θ会抵消，应采用级数；输出使用题面公开绝对误差，不机械逐字比较舍入串。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long double loss(long double theta) {
    if (theta < 0.01L) {
        long double q = theta * theta, term = q / 6, sum = term;
        for (int k = 2; k <= 20; k++) {
            term *= -q / ((2 * k) * (2 * k + 1));
            sum += term;
        }
        return sum;
    }
    return 1 - sinl(theta) / theta;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    long double L, n, C;
    cin >> L >> n >> C;
    long double d = n * C;
    if (L == 0 || d == 0) {
        cout << "0.000\n";
        return 0;
    }
    long double target = d / (1 + d), lo = 0, hi = acosl(-1.0L) / 2;
    for (int i = 0; i < 120; i++) {
        long double mid = (lo + hi) / 2;
        if (loss(mid) < target)
            lo = mid;
        else
            hi = mid;
    }
    long double theta = (lo + hi) / 2;
    cout << fixed << setprecision(3) << L / 2 * tanl(theta / 2) << '\n';
}