思路与算法

令目标值为v，则F(x)≤v等价于所有二次函数都≤v。a>0时解二次不等式，得到两个实根之间的闭区间；判别式为负则无解。a=0时按一次不等式求半直线，b也为0时判断常量是否≤v。将所有区间与[0,1000]求交，非空即v可行。可行性随v单调不减，于是对v进行100次二分并输出可行上界。

正确性说明

对a>0的开口向上抛物线，不等式成立区域恰好为根间区间；一次及常量情况分别单独处理，因此每条约束都被准确表示。全部交集非空当且仅当存在同一个x满足所有约束，也就当且仅当min F≤v。这证明二分判定的单调性与等价性。初始下界-5005000不大于任何允许函数在区间内的值，上界100005005000大于区间内所有函数值，100次迭代使数值区间足够窄。

复杂度

每轮O(n)个常数次求根与区间交，共固定100轮，时间O(100n)。输入系数数组初始化O(n)，空间O(n)，每轮只需常量工作空间。使用long double并对最终接近0的值规范化，按四位小数输出。数据n≤10000、T<10，不保存多组数据。

易错点

必须处理a=0及a=b=0，不能直接除以2a。区间交从[0,1000]开始，最优值可能在端点，也可能为负数。原目录缺少独立三分知识节点，本解实际使用答案二分与二次不等式，正式映射对应实际方法。独立答案枚举各曲线顶点与两两交点，并以60位Decimal取上包络最小值。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T;
    cin >> T;
    cout << fixed << setprecision(4);
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<array<long double, 3>> v(n);
        for (auto &f : v)
            cin >> f[0] >> f[1] >> f[2];
        auto feasible = [&](long double target) {
            long double l = 0, r = 1000;
            for (auto f : v) {
                long double a = f[0], b = f[1], c = f[2] - target;
                if (a == 0) {
                    if (b == 0) {
                        if (c > 0)
                            return false;
                    } else if (b > 0)
                        r = min(r, -c / b);
                    else
                        l = max(l, -c / b);
                } else {
                    long double delta = b * b - 4 * a * c;
                    if (delta < 0)
                        return false;
                    long double sq = sqrtl(delta);
                    l = max(l, (-b - sq) / (2 * a));
                    r = min(r, (-b + sq) / (2 * a));
                }
                if (l > r)
                    return false;
            }
            return true;
        };
        long double low = -5005000, high = 100005005000.L;
        for (int it = 0; it < 100; ++it) {
            long double mid = (low + high) / 2;
            if (feasible(mid))
                high = mid;
            else
                low = mid;
        }
        if (fabsl(high) < .00005L)
            high = 0;
        if (fabsl(high) < .00005L)
            high = 0;
        cout << high << '\n';
    }
}