思路与算法

按题图，上方有 $b$ 行、每行 $a$ 格，下方有 $d$ 行、每行 $a+c$ 格。固定上方放 $i$ 个车，下方放 $r=k-i$ 个车。

先从上方 $b$ 行选出 $i$ 行，再向这些行分配互异的 $a$ 个可用列，方法数为 $\binom bi P(a,i)$。这些车占用了 $i$ 个左侧列；所有下方长行都包含它们，所以底部剩余可用列恰为 $a+c-i$。从底部选 $r$ 行并分配不同列，方法数为 $\binom dr P(a+c-i,r)$。答案是

$$\sum_{i=0}^{\min(k,a,b)}\binom bi P(a,i)\binom d{k-i}P(a+c-i,k-i)\pmod{100003}.$$

不合法的组合数或排列数定义为0。预处理至 $H=\max(a+c,b,d)\le2000$ 的阶乘及逆阶乘；$H<100003$ 且模数为素数，所有需要求逆的阶乘均可逆。

正确性说明

任一合法放置有唯一的上方车数 $i$。选定上部行后，每行恰有一车，列必须互异，因此为这些已确定的行指定互异列对应 $P(a,i)$ 种位置。底部所有行都比上部宽，恰能使用除去已占 $i$ 列后的其余 $a+c-i$ 列，因此底部计数公式完整且不依赖上部占列的具体形状。

两部分行互不重合，剩余列选择保证全棋盘列也不冲突。反过来，式中每种选择均给出唯一合法车的位置集合，无需再给相同的车编号。按 $i$ 的分类互不重叠，求和覆盖所有方案。阶乘计算公式与模逆条件成立，输出正确。

复杂度

预处理和初始化为 $O(H)$，一次快速幂 $O(\log P)$，枚举不超过 $k+1$ 个上部车数，每项常数时间。总时间 $O(H+\log P+k)$，额外空间 $O(H)$，$P=100003$。不枚举棋盘格子或车的全排列。

易错点

1. 上部是 $a$ 列 $b$ 行，下部是 $a+c$ 列 $d$ 行，不能只把棋盘看成两个互不影响的矩形。
2. 底部可用列须减去上部已占列数 $i$。
3. 车不编号，选行后指定列已决定方案，不再乘 $\binom ki$ 或 $k!$。
4. 若 $k-i>d$ 或剩余列不足，该项为0，避免负下标访问。
5. 覆盖最小正尺寸、最大尺寸、Hall约束刚好可行的瘦长棋盘。候选的零尺寸不满足当前提示中所有参数≥1，整点拒用且原包保留。独立答案为逐行Ferrers棋盘DP，并与小棋盘完整车位置枚举核对。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int MOD = 100003;
ll power(ll a, ll e) {
    ll r = 1;
    while (e) {
        if (e & 1)
            r = r * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        e >>= 1;
    }
    return r;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int a, b, c, d, k;
    cin >> a >> b >> c >> d >> k;
    int size = max(a + c, max(b, d));
    vector<ll> fact(size + 1), inv(size + 1);
    fact[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= size; i++)
        fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
    inv[size] = power(fact[size], MOD - 2);
    for (int i = size; i; i--)
        inv[i - 1] = inv[i] * i % MOD;
    auto C = [&](int n, int r) -> ll {
        if (r < 0 || r > n)
            return 0;
        return fact[n] * inv[r] % MOD * inv[n - r] % MOD;
    };
    auto P = [&](int n, int r) -> ll {
        if (r < 0 || r > n)
            return 0;
        return fact[n] * inv[n - r] % MOD;
    };
    ll answer = 0;
    for (int upper = 0; upper <= min(k, min(a, b)); upper++) {
        int lower = k - upper;
        ll ways =
            C(b, upper) * P(a, upper) % MOD * C(d, lower) % MOD * P(a + c - upper, lower) % MOD;
        answer = (answer + ways) % MOD;
    }
    cout << answer << '\n';
}