思路与算法

按从小到大枚举候选进制B=2至40。每个输入文本先检查每个数码d是否小于B，否则该进制不合法。合法时用v=v*B+d把数码依次折算为整数。

为避免直接计算p值乘q值可能超过有符号64位上界，使用等价条件：r值能被q值整除，且r值/q值等于p值。所有输入为正整数，合法数码下q值也为正，除法安全。找到第一个满足者就输出B；遍历全部候选仍未找到则输出0。

正确性说明

按位权定义，Horner式v=vB+d在读完每个前缀时恰为该前缀表示的数值，因此转换准确。任何不小于B的数码都不能出现在B进制数中，先排除它是必要且正确的。对合法正整数a、b、c，c%b=0且c/b=a当且仅当ab=c，所以无需乘法也能准确验证题目等式。进制升序枚举覆盖全部2至40，首次满足的必为最小进制；若均不满足，按要求输出0。

复杂度

令L为三个输入数码总长。每个进制转换O(L)，候选仅39个，总时间O(39L)，保存输入需O(L)，其余额外空间O(1)。初始化三个字符串和候选变量的开销包含在读入中。

原十进制输入不超过1000000，去掉前导零后最多7位，7位时只能为1000000。因此任意候选进制下的单个值不超过40^6=4096000000，long long可保存；但其平方40^12=16777216000000000000超过有符号64位上界。参考程序使用除法判等，避免这个真实边界问题。

易错点

数码必须严格小于进制，不能只检查p和q而忽略r。输入字符只有0至9，即使B大于10也不引入A至Z数码。多个进制可行时取最小；本批有最小2、3、10、13、39、40及无解0。输入1000000的乘法边界不能用有符号long long直接乘两边，代码已避免。

参考代码（C++11）

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
long long value(const string &s, int base) {
    long long v = 0;
    for (char c : s) {
        int d = c - '0';
        if (d >= base)
            return -1;
        v = v * base + d;
    }
    return v;
}
int main() {
    string p, q, r;
    cin >> p >> q >> r;
    for (int base = 2; base <= 40; ++base) {
        long long a = value(p, base), b = value(q, base), c = value(r, base);
        if (a < 0 || b <= 0 || c < 0)
            continue;
        if (c % b == 0 && c / b == a) {
            cout << base << '\n';
            return 0;
        }
    }
    cout << 0 << '\n';
}